PAPIRODEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

En la actualidad, existen más de 1000 demostraciones del Teorema de Pitágoras lo que confirma que es uno de los teoremas que más han llamado la atención a través de la historia.

Existen varias demostraciones que utilizan la papiroflexia para justificar este teorema y que se basan en pruebas geométricas clásicas. La más antigua que conozco es la que publicó en 1883 Sundara Row en su libro "Geometric Exercices in Paper Folding" y que recogen, entre otros, Kunihiko Kasahara (1989 y 2001) y Jesús de la Peña Hernández (2000).

Basándome en la demostración matemática de este teorema propuesta por el matemático inglés Henry Perigal (1801-1898) he ideado una demostración “papirofléxica” del Teorema de Pitágoras. Me baso en un puzzle de cuatro piezas trapezoidales hechas de papiroflexia, ideado por Jean Jonson y publicado por Judy Hall (1995) y Jesús de la Peña Hernández (2000). Estos autores no utilizan el puzzle para demostrar explícitamente el teorema de Pitágoras y además las piezas trapezoidales del puzzle que propongo no tienen por qué tener las mismas proporciones que las ideadas por Jean Jonson.

La demostración de Perigal es la siguiente: Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas, una paralela y otra perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa (Perigal 1874).

Para realizar la papirodemostración del teorema de Pitágoras de un triángulo rectángulo cualquiera vamos a construir un puzzle de cinco piezas: una pieza cuadrada y cuatro trapezoidales iguales.

Sea un triángulo rectángulo cualquiera:

Para construir la pieza cuadrada:

Construimos cuatro piezas trapezoidales de la siguiente manera:

Y ya sólo queda colocar las piezas para demostrar el teorema de Pitágoras:

Referencias bibliográficas:

DE LA PEÑA HERNÁNDEZ, Jesús (2000) Matemáticas y Papiroflexia. Asociación Española de Papiroflexia. Madrid.

HALL, Judy (1995) Teaching Origami to develop visual/spatial perception en Second International Conference on Origami Education and Therapy. Origami USA. New York.

KASAHARA, Kunihiko (1989) Origami Shinseiki I (Origami, La Era Nueva). Ed. Sanrio Co. Japón.

KASAHARA, Kunihiko (2001) Amazing Origami. Sterling Publishing Company. New York.

PERIGAL, Henry (1874) On Geometric Dissections and Transformations. The Messengers of Mathematics. p.103-106.
http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/perigal/perigal.html

ROW, Sundara (1966 ) Geometric Exercices in Paper Folding. Dover Publications. New York. (Reimpresión del libro original publicado en 1893 en Madrás, India).

Tomado de

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/papiroflexia/Pitagoras.asp
por Belén Garrido

ACERTIJOS

1. Uno
Expresar la unidad utilizando los diez dígitos, todos y una sola vez cado uno.

2. Doses
Con cinco doses y todas las operaciones aritméticas necesarias, incluidos los signos de esas operaciones, expresar los nuéros 11, 15 y 12321.

3. Más doses
¿Cómo expresar el número 28 con cinco doses?


4. Y más doses
Con sólo cuatro doses, expresar el número 111


5. Treses
Con cinco treses es fácil expresar el número 100: 33 · 3 + 3/3 = 100
¿Pero cómo expresar con cinco treses el número 10?


6. Siguen los treses
También es muy fácil expresar el número 12 con cuatro treses: 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Cuesta un poco más expresar con cuatro treses los números 15 y 18:
3 + 3 + 3 · 3 = 15 (Cuidado con el orden de las operaciones)
3 · 3 + 3 · 3 = 18 (Si le es más fácil utilice paréntesis: (3 · 3) + (3 · 3))
Pero, ¿cómo expresar el número 5 con cuatro treses? Tampoco es demasiado difícil:
(3 + 3) / 3 + 3 = 5
Le proponemos que exprese con cuatro treses cada uno de los números del 1 al 10, ambos inclusive


7. Cuatros
El mismo reto que en el acertijo anterior (expresar los números del 1 al 10) pero utilizando en cada caso cuatro cuatros.


8. Cincos
Con cuatro cincos unidos convenientemente con operaciones aritméticas, expresar el número 16.


9. Siete cifras
Escriba primero seguidas las siete primeras cifras: 1 2 3 4 5 6 7. Estas cifras se pueden agrupar de diferentes modos, manteniendo el orden, y operando los agrupamientos con la suma y la resta para obtener distintos resultados. Así, por ejemplo: 12 + 34 – 5 + 6 – 7 = 4
Encuentre una combinación que dé 55.


10. Nueve cifras
Como en el acertijo anterior, escriba las cifras seguidas el 1 al 9: 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Agrupando estas cifras, sin alterar su orden, y colocando signos + o – puede obtener el número 100: 12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.

Tomados de:http://www.amejor.net/index.php?option=com_content&task=view&id=269&Itemid=17..... por Carlos Puertas

El Sistema de Numeración Griego

El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.

Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla mostrada a la izquierda. De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.

La Matemática en la Biología

Es increible la relación que existe entre la Matemática y la Biología. Aunque muchos se preguntan “¿hace falta saber matemáticas para hacer biología?” o algo por el estilo. Podría decirse que sí, que hay que saber matemáticas complicadísimas, con muchas derivadas, integrales, números imaginarios y demás… y que mejor se busque otra carrera, pero sería mentir, así que le cuento la verdad: que hay que tener un nivel básico, que la estadística es esencial (una gran parte de la biología es estadística pura y dura) y todo lo demás. Sinceramente no hay que ser un crack de los números, sino ponerle mucho empeño.

Además debemos tener en cuenta que de alguna manera se complementan ya que la matemática le sirve de alguna manera a la biología para explicar algunos fenómenos como es el caso del fractal.

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas, hasta el infinito.
La forma más sencilla de entenderlo, un dibujo:

Pues bien una idea tan matemática tiene cabida también en la naturaleza, por ejemplo en el Romanescu (Brassica oleracea)

En realidad la fractalidad es muy habitual en la naturaleza (sorpresa!) y la pregunta que debe hacer nuestra mente científica es… por qué?
Resulta que la fractalidad es muy práctica: repetir partes hasta la saciedad es una forma muy útil de aumentar la superficie (sin tener que aumentar demasiado el volumen)
Nuestros órganos, por ejemplo, son fractales (piensa en tus pulmones).

Es la misma estructura repetida una y otra vez, lo que se traduce en un aumento de superficie muy eficiente (de ahí que esté hasta en la sopa).
Más información en este vídeo de SmartPlanet:

Historia de la Aritmética

En la prehistoria, la aritmética se limita al uso de números enteros, encontrados inscritos en objetos que indican una clara concepción de la suma y resta; el más conocido es el hueso Ishango de África central, que se data entre 18000 y 20000 a. C.
Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental en 1800 a. C., aunque los historiadores sólo pueden especular sobre los métodos utilizados para generar los resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece a ser una lista de Pitágoras triples, pero sin mostrar cómo se haya generado la lista. Del mismo modo, el egipcio Papiro de Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es una copia de un antiguo texto de ca. 1850 a. C.) muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones.
Nicomachus de Gerasa (ca. 60 - 120 a. C.) resume la filosofía de Pitágoras enfocada a los números, y sus relaciones, en su Introducción a la Aritmética. En esa época, las operaciones aritméticas básicas eran muy complicadas, hasta que comenzó a utilizarse el método conocido como "Método de los indios" (en latín "Modus Indorum") que se convirtió en la aritmética que hoy conocemos. La aritmética india era mucho más simple que la aritmética griega, debido a la simplicidad del sistema numérico indio que, además poseía el cero y una notación con valor numérico posicional. En el siglo VII, el obispo sirio Severo Sebhokt menciona este método con admiración, indicando no obstante que el método indio iba más allá de esa descripción. Los árabes aprendieron ese nuevo método y lo llamaron hesab. Fibonacci (también conocido como Leonardo de Pisa) presenta el "Método de los indios" en Europa en 1202; en su tratado Liber Abaci, Fibonacci dice que, comparado con este nuevo método, todos los demás habían sido erróneos. En la Edad Media, la aritmética es una de las siete artes liberales enseñada en las universidades.
Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta añadido el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división, basadas en los números arábigos. A pesar de que ahora se considera elemental, su sencillez es la culminación de miles de años de desarrollo matemático. Por el contrario, el antiguo matemático Arquímedes dedicó todo un tratado para la elaboración de una notación con determinados números. El florecimiento de álgebra en el mundo medieval islámico y en el renacimiento europeo fue fruto de la enorme simplificación de las operaciones mediante la notación decimal posicional.

El origen de las matemáticas

El origen de las matemáticas va unido al antiguo Egipto, una de las civilizaciones más sabias de la historia. En su haber se hayan múltiples saberes concebidos como una mezcla de ciencia y magia. La espiritualidad, la religiosidad y el misticismo que dominaban todos los aspectos de la vida del pueblo egipcio, determinaron los primeros pasos de esta ciencia.
Con la llegada de la edad moderna, las matemáticas pasaron a convertirse en una ciencia cuantitativa y secular. Se alejó de su misticismo original para satisfacer las necesidades de una nueva sociedad, interesada en el crecimiento del comercio, en el desarrollo de la incipiente industria, en la creación de nuevas técnicas de producción, comunicación y transporte, en el uso del dinero, etc.