domingo, 2 de octubre de 2011

sábado, 24 de septiembre de 2011

miércoles, 28 de enero de 2009

PAPIRODEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

En la actualidad, existen más de 1000 demostraciones del Teorema de Pitágoras lo que confirma que es uno de los teoremas que más han llamado la atención a través de la historia.

Existen varias demostraciones que utilizan la papiroflexia para justificar este teorema y que se basan en pruebas geométricas clásicas. La más antigua que conozco es la que publicó en 1883 Sundara Row en su libro "Geometric Exercices in Paper Folding" y que recogen, entre otros, Kunihiko Kasahara (1989 y 2001) y Jesús de la Peña Hernández (2000).


Basándome en la demostración matemática de este teorema propuesta por el matemático inglés Henry Perigal (1801-1898) he ideado una demostración “papirofléxica” del Teorema de Pitágoras. Me baso en un puzzle de cuatro piezas trapezoidales hechas de papiroflexia, ideado por Jean Jonson y publicado por Judy Hall (1995) y Jesús de la Peña Hernández (2000). Estos autores no utilizan el puzzle para demostrar explícitamente el teorema de Pitágoras y además las piezas trapezoidales del puzzle que propongo no tienen por qué tener las mismas proporciones que las ideadas por Jean Jonson.


La demostración de Perigal es la siguiente: Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas, una paralela y otra perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa (Perigal 1874).


Para realizar la papirodemostración del teorema de Pitágoras de un triángulo rectángulo cualquiera vamos a construir un puzzle de cinco piezas: una pieza cuadrada y cuatro trapezoidales iguales.


Sea un triángulo rectángulo cualquiera:

Para construir la pieza cuadrada:




Construimos cuatro piezas trapezoidales de la siguiente manera:

Y ya sólo queda colocar las piezas para demostrar el teorema de Pitágoras:




Referencias bibliográficas:


DE LA PEÑA HERNÁNDEZ, Jesús (2000) Matemáticas y Papiroflexia. Asociación Española de Papiroflexia. Madrid.


HALL, Judy (1995) Teaching Origami to develop visual/spatial perception en Second International Conference on Origami Education and Therapy. Origami USA. New York.


KASAHARA, Kunihiko (1989) Origami Shinseiki I (Origami, La Era Nueva). Ed. Sanrio Co. Japón.


KASAHARA, Kunihiko (2001) Amazing Origami. Sterling Publishing Company. New York.


PERIGAL, Henry (1874) On Geometric Dissections and Transformations. The Messengers of Mathematics. p.103-106.
http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/perigal/perigal.html


ROW, Sundara (1966 ) Geometric Exercices in Paper Folding. Dover Publications. New York. (Reimpresión del libro original publicado en 1893 en Madrás, India).


Tomado de

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/papiroflexia/Pitagoras.asp
por Carlos Puertas

martes, 27 de enero de 2009

ACERTIJOS




1. Uno
Expresar la unidad utilizando los diez dígitos, todos y una sola vez cado uno.

2. Doses
Con cinco doses y todas las operaciones aritméticas necesarias, incluidos los signos de esas operaciones, expresar los nuéros 11, 15 y 12321.


3. Más doses
¿Cómo expresar el número 28 con cinco doses?


4. Y más doses
Con sólo cuatro doses, expresar el número 111


5. Treses
Con cinco treses es fácil expresar el número 100: 33 · 3 + 3/3 = 100
¿Pero cómo expresar con cinco treses el número 10?


6. Siguen los treses
También es muy fácil expresar el número 12 con cuatro treses: 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Cuesta un poco más expresar con cuatro treses los números 15 y 18:
3 + 3 + 3 · 3 = 15 (Cuidado con el orden de las operaciones)
3 · 3 + 3 · 3 = 18 (Si le es más fácil utilice paréntesis: (3 · 3) + (3 · 3))
Pero, ¿cómo expresar el número 5 con cuatro treses? Tampoco es demasiado difícil:
(3 + 3) / 3 + 3 = 5
Le proponemos que exprese con cuatro treses cada uno de los números del 1 al 10, ambos inclusive


7. Cuatros
El mismo reto que en el acertijo anterior (expresar los números del 1 al 10) pero utilizando en cada caso cuatro cuatros.


8. Cincos
Con cuatro cincos unidos convenientemente con operaciones aritméticas, expresar el número 16.


9. Siete cifras
Escriba primero seguidas las siete primeras cifras: 1 2 3 4 5 6 7. Estas cifras se pueden agrupar de diferentes modos, manteniendo el orden, y operando los agrupamientos con la suma y la resta para obtener distintos resultados. Así, por ejemplo: 12 + 34 – 5 + 6 – 7 = 4
Encuentre una combinación que dé 55.


10. Nueve cifras
Como en el acertijo anterior, escriba las cifras seguidas el 1 al 9: 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Agrupando estas cifras, sin alterar su orden, y colocando signos + o – puede obtener el número 100: 12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.